Ivan Minatti
Tujec, ki greš v Lakedajmon, povej, da še zmerom
ležimo v klancu stražarji zvesti, kakor je velel ukaz.
Simonid iz Keosa
Kako je mogoče, da sem objektiven, ker nisem objektivno realen, in kdaj sem objektivno realen, če sem subjektiven?
Kako je možno, da sem subjektiven, saj nisem objektivno realen, ter kdaj sem objektiven, če sem objektivno realen?
Kako je mogoče, da sem subjektiven, nisem pa realno objektiven, in kdaj sem objektiven, če nisem subjektiven?
Kako je možno, da sem objektiven, nisem pa realno objektiven, kdaj pa sem subjektiven, če nisem objektiven?
Subjektiven sem natanko takrat, ko sem objektivno resničen, ker sem ter nisem objektivno realen?
Tedaj sem objektiven, saj sem realno objektiven?
Natančno tedaj sem objektiven, ker sem objektivno realen: sem resnično objektiven, saj nisem in sem, sem pa subjektiven, ker nisem realno objektiven?
Natanko »takrat« sem subjektiven, saj sem »natančno« tedaj objektiven, ker nisem subjektiven, marveč sem »subjektiven« ?
»Natanko« takrat sem objektiven, saj sem natančno »tedaj« subjektiven, ker nisem objektiven, sem pa subjektiven ter nisem?
Kako je mogoče, da nisem subjekt, saj sem »objektiven«, in kako ni možno, da nisem objektiven, ker sem »subjektiven« ?
Izstopim iz sebe, saj nisem objekt, ter vstopim v objekt, ker nisem subjekt?
Izstopim iz sebe, saj nisem subjekt, in vstopim v subjekt, ker nisem objekt?
Takrat sem subjektiven, ne pa »takrat«; tedaj sem objektiven, pa »ne« takrat?
Je Kant objektiven, ampak ni Kant, ter kdaj je Kant subjektiven, temveč je Kant?
Kdaj je objektiven in je ’Kant’, ter kdaj ’Kant ’ ni ’ Kant’ , marveč je subjektiven?
Kantovi pojmi so prazni, njegova čutnost pa ni slepa in ’Kant’ nima mejnega pojma?
Če Kant mejnega pojma nima, je ’Kantova’ čutnost slepa, njegovi pojmi pa niso prazni?
Kant je ’Kant’, saj ni Kant, ter ’Kant’ ni ’Kant’, ker je Kant?
Kdo je torej onstran mejnega pojma, če ’Kant’ s praznim pojmom takrat »vidi« nedostopnega Kanta, kdo pa je tedaj zunaj ’Kanta’, če Kantova čutnost ni slepa, saj ga (neznano kako) aficira noumen?
Ni Kant razcepljen tako, da je isti, ker ni Kant, Kant pa tako, da ni enak Kantu, je pa ’Kant’ ?
Kdo je na drugi strani mejnega pojma, če je Kant enak in isti, Kant pa ni enak, saj »vidi« slepega ’Kanta’ ?
Vprašanje je tole: kako, da je Kant svoboden, ker ni ’Kant’, Kant pa to ve, tega pa ne verjame?
Rečeno drugače: kako, da je ’Kant’ svoboden, saj ni enak, ampak ni Kant, Kant pa to verjame, ker tega ne ve?
Ni Kant napol objektiven: popolnoma prazna ideja svobode ga konstituira kot subjektivnega ’Kanta’ , saj je ’Kant’ napol subjektiven, ker ga povsem prazni ideji Boga ter nesmrtne duše regulirata kot objektivnega Kanta (et vice versa)?
Pri Kantu/’Kantu’ je moral razum prepustiti mesto veri, saj je filozof svobode v trenutku svojega časa drugi Kopernik, njegova logika pa od Aristotela dalje stopica na mestu, ker znanstveni metafizik Kant (niti ’Kant’) ni poznal pojma limite, niti regresa brez konca in kraja?
Torej se danes vprašam takole: zakaj z rigidnimi matematičnimi entitetami prispem na konec neskončnosti z limito, nikoli pa s številsko premico, ko številke narišem na tablo, ter kam narišem matematično točko brez dimenzije, če na začetek realnosti zapišem lažno limito?
Z drugo besedo: kako je bilo z zamero med Fregejem in Hilbertom ter kaj na to pravi in reče van Inwagnova uganka?
Tu omenjam ameriškega pisca Charlesa S. Chiharo ter njegove uganke, ki zadevajo matematiko.
Oglejmo si najprej prve tri postulate Evklidove verzije ravninske geometrije:
Postulat 1: Ravno črto lahko začrtamo od katerekoli točke do sleherne točke.
Postulat 2: V ravni smeri moremo ravno črto neskončno podaljšati.
Postulat 3: Lahko začrtamo krog s središčem v vsaki točki in s katerimkoli polmerom.
Primerjajmo zgornje tri postulate s prvimi tremi aksiomi Hilbertove variante, objavljene v njegovih Osnovah geometrije.
Aksiom 1: Za sleherni dve točki A, B obstaja črta L, na kateri leži vsaka obeh točk A, B.
Aksiom 2: Za vsaki dve točki A, B ni več kot ene črte, ki vsebuje sleherno od obeh točk A, B.
Aksiom 3: Na črti sta vsaj dve točki. Obstajajo najmanj tri točke, ki ne leže na črti.
Hilbertovi aksiomi so po značaju eksistencialni: trdijo eksistenco geometrijskih teles, točk ter črt.
Evklidovi postulati pa ne zatrjujejo eksistence ničesar: trdijo zgolj možnost, da opravimo geometrijsko konstrukcijo.
Osnoven je prav ta konstrukcijski vidik Evklidove geometrije; kot domneva Ernest Adams, je:
‘Evklid zaskrbljen z aplikacijo na način, kot se zdi, da moderna čista geometrija ni.
Mnoge propozicije v Elementih spominjajo na recepte za različne stvari, na primer za konstrukcijo enakostraničnih trikotnikov. Seveda je v Elementih mnogo več kot to, ker so številne, če ne večina, njihovih propozicij teoremi, ki navajajo dejstva, kot je Pitagorov izrek . . . vendar pa osebam, ki skušajo razumeti aplikacijo geometrije, ne svetujemo slabo, če pogledajo k njenim starejšim in bolj tehnično orientiranim formulacijam.’
V nasprotju s Hilbertovo eksistencialno geometrijo je torej Evklidova geometrija modalna: trdi, kaj je mogoče konstruirati.
Več kot dva tisoč let so mnogi matematiki geometrijo razumeli in razvijali kot modalno teorijo, v dvajsetem stoletju pa je iz nekih razlogov postala naravnost eksistencialna.
Hilbert nikakor ni prvi matematik, ki misli ter sklepa o geometrijskih predmetih (kot so točke in črte) prej pod pogoji eksistence kot konstruktivnosti.
Že stoletja pred tem so se začeli matematiki namreč obračati k eksistencialnemu načinu izražanja geometrijskih teoremov.
Obrat v geometriji od tvorbe konstruktivističnih trditev k zatrjevanju eksistence sproži nekaj osnovnih vprašanj:
a) Zdi se, da se nihče ni vznemirjal zaradi spremembe, nihče je ni niti opazil.
Nihče ne verjame, da je običajni eksistencialni stavek
‘Obstajajo stavbe z več kot tristo stanovanji.’
ekvivalenten modalni izjavi:
‘Mogoče je konstruirati stavbe z več kot tristo stanovanji.’
Zakaj med matematiki ter filozofi ni bilo resne debate o veljavnosti takšne očitno radikalne ontološke spremembe v osnovah ene središčnih matematičnih teorij?
b) Kot se zdi, se spričo omenjenega obrata vloge, v katere je bila postavljena geometrija, niso spremenile.
Je pri premišljanju o površinah, prostorninah, razdaljah . . . vseeno, če geometrija, ki jo uporabljamo, trdi
– kaj je mogoče konstruirati
ali
– da matematične entitete eksistirajo ?
Povsem adekvaten odgovor na zgornji vprašanji (a, b) zahteva podrobno analizo zgodovine matematike (ki bi zajela več sto let), od tod pa Chihara rajši usmeri raziskovanje na sledečo zagonetk glede Hilbertovega pogleda na geometrijo.
V uvodu k svojim Osnovam geometrije Hilbert zapiše:
‘Utemeljitev aksiomov geometrije in raziskava njihovih povezanosti je problem . . . , ki je ekvivalenten logični analizi naše zaznave prostora.’
Nato nadaljuje in trdi, da njegovi aksiomi izražajo:
‘. . . dejstva, ki so v osnovi naše intuicije.’
Vprašanja:
Je res, da nam zaznava prostora pove, da obstaja neskončno točk ter črt, ki jih postulirajo aksiomi geometrije?
Nas naša intuicija obvesti, da takšne točke in črte v resnici eksistirajo?
Je mogoče, da se Hilbert (ob predpostavki aksiomov o takšnih eksistencialnih »dejstvih«) počuti upravičenega, ko pa se je Evklidova ravninska geometrija razvila (ter so jo uporabljali v mnogih stoletjih) brez sleherne takšne zavezanosti navidezni ontologiji o nezaznavnih (neopaznih) objektih?1
Tako so torej nekateri pomembni matematiki verjeli, da teoretik množice premišlja o nefizikalnih entitetah, ki resnično eksistirajo (Chihara se spomni takšnih platoničnih ali realističnih raziskovalcev kot so Kurt Godel, Robert Solovay in John Steel), drugi izstopajoči matematiki (na primer Alfred Tarski, Paul Cohen ter Abraham Robinson) pa so zastopali mnenje, da teoretiki množice sploh ne mislijo o stvareh, ki resnično bivajo.
Cohen:
‘. . . verjetno večina slavnih matematikov, ki se je izrazila glede vprašanja, tako ali drugače zavrača realistično pozicijo.’
Glede zadnje skupine je presenetljivo , da so mnogi med njimi proizvajali, in še proizvajajo (kljub skeptičnemu prepričanju glede ontologije matematike) pomembne ter plodne matematične rezultate (kar je povsem drugače kot pri drugih znanostih).
Kemik, ki ne verjame v flogiston, ne teoretizira znotraj teorije flogistona, ne opravlja eksperimentov, ki temeljijo na tej teoriji, in po tej teoriji ne razlaga fenomenov. Malo, če sploh kateri, kemikov, ki so skeptični glede eksistence flogistona, nadaljujejo z ustvarjanjem plodnih razvijanj v flogistonski teoriji. Podobno tudi ni velikih skupnosti pomembnih genetikov, ki zanikajo, da geni obstajajo.
Kako je torej mogoče, da toliko matematikov, ki so globoko skeptični glede bivanja matematičnih objektov, uspešno dela na področjih kot je teorija množic?
Je kaj v naravi matematike, posebej še v teoriji množic, kar omogoči matematikom, da se obnašajo, v primerjavi z empiričnimi znanstveniki, na tako navidezno tuj način?
Zagonetka: kako se znanost matematike razlikuje od drugih znanosti, ki jih zadeva prejšnja presenetljiva razlika?
Tudi Jody Azzouni poudari, da matematična praksa podpira stališče, ki implicira, da so matematični predmeti močno drugačni od tistih, ki jih preučujejo empirični znanstveniki:
‘Bistveni del prakse empirične znanosti je ustvariti sredstva za dostop do (mnogih) objektov, ki tvorijo predmet te znanosti. To je gotovo res za teoretične objekte kot so subatomski delci, črne luknje, geni . . .
Empirični znanstveniki poskušajo vzajemno delovati z večino teoretičnih predmetov, s katerimi se bavijo, kar skoraj nikoli ni trivialno. Znanstvena teorija in inženirsko znanje sta neprestano zaposlena s takšnimi poskusi, ki so pogosto ambiciozni ter dragi.
Kaže, da nič takšnega ne velja za matematiko.’
Pri matematikih ne najdemo seminarjev ali konferenc, ki naj bi predstavile najnovejše načine detekcije množic, števil ali funkcij. Zdi se, da detekcija ali vzajemno delovanje z matematičnimi predmeti ne tvori nobenega dela matematične prakse. Videti je, da z objekti matematike ne delujemo interaktivno, niti da vzajemno delujejo s čimerkoli v našem svetu.
Lastnost inertnosti predmetov pri matematiki, kar je razvidno v kontrastu med matematičnimi ter znanstvenimi (naravoslovnimi) praksami, vodi k trem tesno povezanim filozofskim vprašanjem.
Prvo vprašanje je epistemološko: če so matematični objekti kavzalno inertni in če z njimi ni v interaktivnem odnosu noben človek, kako lahko matematiki odkrivajo matematične resnice?
Da je to uganka, kažejo tri navidezna dejstva o matematiki:
1. Matematiki govorijo o stvareh kot so števila, množice, funkcije ter prostori.
2. Teoremi matematičnih teorij (kot sta teorija števil in teorija množic) so resnične trditve o stvareh, o katerih razpravljajo matematiki.
3. Med teoremi matematičnih teorij so eksistencialne trditve, ki potrjujejo bivanje teh stvari (o katerih torej pripovedujejo matematiki).
Matematične teorije očitno pravijo, da reči kot so števila ter množice resnično eksistirajo, inertnost matematičnih predmetov pa nam zastavlja vprašanje, kako matematiki sploh morejo odkriti takšne bivanjske resnice.
Kako lahko človeška bitja pridobijo znanje o eksistenci teh inertnih matematičnih objektov?
Kako se morejo ljudje naučiti, kakšne lastnosti imajo ti predmeti in kakšne so relacije med njimi?
James Brown odgovarja na zgornje vprašanje v svoji nedavni knjigi o filozofiji matematike takole:
‘Imamo matematično znanje in moramo ga razložiti; najboljša razlaga je ta, da matematični objekti so ter da jih lahko »vidimo«.’
Eden ugovorov takšnemu platonskemu videnju matematičnega znanja temelji na doktrini, ki je znana kot ‘kavzalna teorija znanja’.2
Kot pove Brown:
‘Da sploh kaj vemo, mora obstajati nekakšna vzročna povezava med poznanim predmetom in subjektom znanja.’
Iz te doktrine ter dejstva, da ne more biti nobene zveze med človekom in katerimkoli matematičnim objektom (zaradi inertne značilnosti predmetov matematike), dosežejo tisti, ki ugovarjajo, zaključek, da ni mogoče »videti« nobenega matematičnega objekta tako, da bi pridobili matematično znanje kot to postulira platonist. Od tod se platonistična pojasnitev matematičnega znanja sesede.
Brownov odgovor na ta ugovor je opis priznano bizarne situacije, ki se lahko primeri glede na neko standardno interpretacijo kvantne mehanike.
Einstein, Poldolsky ter Rosen poročajo o tipu strukture, kjer je opisan naslednji poizkus: par fotonov prispe na nasprotna konca strukture, vsak z lastnostjo spin-up ali spin-down. Po kvantni teoriji naj bi imeli naslednje:
‘Če sem na enem krilu merilnega aparata in dobim rezultat spin-up, lahko nemudoma sklepam, da imaš ti na drugem krilu rezultat spim-down. Poznam oddaljeni izid, ne da bi bil vzročno povezan z daljnim krilom. . . Tako je kavzalna teorija preprosto ovržena s primerom. Moremo torej imeti znanje, četudi brez vzročne vezi.’
Recimo, da sprejmemo Brownovo »ovržbo« vzročne teorije.
Kaj lahko nato sklenemo glede platonističnega »pojasnila«, kako lahko pridobimo znanje o »inertnih« matematičnih entitetah?
Brownov zaključek:
‘Ko je vzročna teorija enkrat zavrnjena, ni ugovora našemu znanju o abstraktnih entitetah, ne da smo z njimi kavzalno povezani. Problem dostopa je psevdo problem; odpor do platonizma je motiviran z napačnimi pomisleki.’
Po mnenju Chihara je sklepanje, da je težava dostopa psevdo problem le na osnovi ovržbe ene verzije vzročne teorije (s spin up, down) tako preuranjeno kot nelogično.
Preglejmo torej Brownov kvantno mehanični primer.
Morda nismo v nikakršnem vzročnem stiku z oddaljenim krilom v zadevnem času in mogoče ne moremo vzročno sodelovati z določenim stanjem fotonovega spina ali z zadevnim fotonom v specifičnem času, ko je v stiku z daljnim krilom, lahko pa vzročno sodelujemo s fotonom v drugih časih (fotone lahko navsezadje zaznamo z instrumenti). Poleg tega smo v najrazličnejših kavzalnih stikih z množico drugih fotonov ter delcev: na ta način moremo empirično verificirati mnoge implikacije kvantne fizike. Prav ta močno preučevana in izjemno preverjena teorija je tista, ki tvori osnovo neobičajnemu sklepu, ki ga navaja Brown.
Pri tem se seveda vprašam tole: »Kako je lahko subjekt objektivno realen?«
Tako, da je Descartesova ideja dvožariščna ter je hkrati ideatum, saj ni le idea ?
Cogito, ergo sum, in je Bog (ki je vzrok samega sebe) vzrok filozofa (ki ni vzrok samega sebe) pod pogojem Descartesa?
Po Humu sem se na vzročnost navadil v izkustvu, Kant pa je Huma zavrnil z noumenom (izkušnja je objektivno realna, saj je transcendentalno idealna)?
Smo lahko v vzročnem stiku (kot smo (z vidika znanosti) večinoma s fotoni) z matematičnimi entitetami vsaj v nekem času?
Imamo znanstveno teorijo o matematičnih entitetah, ki je primerljivo preverljiva ter je njena napovedna natančnost blizu tiste iz kvantne fizike?
Katera dobro preučena in izjemno preverjena teorija o matematičnih entitetah služi za osnovo našemu sklepu o lastnostih matematičnih entitet ter o relacijah z njimi, ki jih domnevno ne moremo videti?
Sklepanje, da je problem dostopa psevdo-težava samo zaradi dejstva, da je ovrgljiva le neka inačica kavzalne teorije znanja, je enaka sklepu, kot da je problem globalnega segrevanja psevdo-težava samo zato, ker lahko odklonimo določen način izračuna količine ogljikovega dioksida v atmosferi?3
Videti je, kot da lahko Brown odgovori na tole vprašanje:
‘Kako matematiki odkrijejo eksistenco prazne množice?’
Med vsemi platonisti, ki jih pozna Chihara, ni niti enega, ki bi kdaj trdil, da more »videti« (v kateremkoli relevantnem smislu) prazno množico.
Če je ne moremo »videti«, kako vemo, da biva?
Kaj nam dovoli, da trdimo njeno eksistenco?
Morda Brown verjame, da matematiki »vidijo« z »duhovnim očesom« ?
Kakšno videnje je to?
Če odpravimo metaforični element, kam nas privede takšna »razlaga« ?
Je znanstveno sprejemljiva?4
Blizu zgornjemu epistemološkemu vprašanju je vprašanje reference: kako smo lahko v zvezi s temi inertnimi matematičnimi predmeti?
V nasprotju z običajnimi fizičnimi objekti, s katerimi smo znanstveno v vzročnem stiku, se zdi, da matematični predmeti, opisani v matematičnih teorijah, niso stvari, ki eksistirajo v našem (fizičnem) svetu.
S katerim mehanizmom torej, fizičnim ali mentalnim, se lahko dotaknemo teh ezoteričnih objektov?
Kako vidi težavo Jody Azzouni?
‘Povedati moramo zgodbo, kako se pogoji, ki jih uporabljamo, nanašajo, na kar se nanašajo.
Ta zgodba naj bi ne bila nenaravna.
Se pravi, kakršnakoli zgodba že je, biti mora v skladu z obstoječo znanstveno podobo o tem, kar smo.’
Preišče vrsto različnih »rešitev« . Rezultat je resen filozofski problem:
’Nekaj mora zagotoviti dostop do naših matematičnih pogojev.
Če to niso definicije in aksiomi, ne praksa, niti intelektualna intuicija, kaj je?’
S tem smo pred tretjo težavo, ki je posledica inertnosti matematičnih predmetov.
Zakaj naj torej empirični znanstveniki vedo za te kavzalno inertne objekte?
Znanstveniki imajo opravka z različnimi fizičnimi predmeti, s katerimi so v zvezi (četudi posredno) v mnogih vzročnih relacijah. Njihovo teoretiziranje zahteva tudi uporabo matematičnih teorij, ki se nanašajo na pahljačo matematičnih entitet.
Zakaj je za znanstvenike bistveno, da dosežejo in odkrijejo relacije med inertnimi matematičnimi objekti (o katerih govorijo ter se nanje nanašajo matematične teorije), če naj najdejo dejstva o fizičnih entitetah, na katere se nanašajo in o njih govorijo v znanstvenih teorijah?
Zadovoljivega odgovora doslej še ni.5
V zgodovini matematike najdemo vrsto odličnih matematikov, ki se trudijo pokazati, da je matematična eksistenca konstantna.
Henri Poincare:
‘Beseda »eksistenca« ne pomeni istega, če se nanaša na matematično entiteto ali na matematični predmet. Matematična entiteta biva, če v njeni definiciji ni protislovja, bodisi sama v sebi ali z ozirom na prej priznano propozicijo.’
Zgornje stališče ojača:
‘Če . . . imamo sistem postulatov in če lahko dokažemo, da ne vsebujejo protislovja, lahko menimo, da predstavljajo definicijo enega od pojmov, ki jih najdemo med njimi.’
Blizu je tale teza Davida Hilberta:
‘Če pojmu dodelimo protislovne atribute, pravim, da pojem matematično ne eksistira. Tako matematično ne biva na primer realno število s kvadratom -1. Če pa lahko z uporabo končnega števila logičnih sklepanj dokažemo, da atributi, ki so dodeljeni pojmu, nikoli ne pripeljejo do protislovja, pravim, da je s tem matematična eksistenca pojma (na primer števila ali funkcije, ki zadovolji določene pogoje) dokazana. V primeru pred nami, ko se nas tičejo aksiomi realnih števil v aritmetiki, je dokaz doslednosti aksiomov hkrati dokaz matematičnega bivanja celotnega sistema realnih števil ali kontinuuma.’
Tretji izstopajoči matematik je po zgodovinarju Josephu Daubenu menda vzdrževal podobno stališče:
‘Logična konsistenca je bil preizkusni kamen, ki ga je Cantor uporabljal pri katerikoli teoriji, preden jo je razglasil za obstoječi in zakoniti del matematike . . . Ker je menil, da so njegova transfinitna števila definirana dosledno, . . . ni bilo razloga, da bi zanikali njegovo novo teorijo. Ta vrsta formalizma, ki poudarja notranjo konceptualno konsistenco njegovih novih števil, je vse, kar so morali premisliti matematiki, preden so sprejeli veljavnost transfinitnih števil.’
Takšne misli pa niso zapisali le zgornji trije matematiki. Po mnenju nekaterih je ideja te vrste običajna. Paul Bernays piše:
‘Teza, da eksistenca, v matematičnem smislu, ne pomeni drugega kot doslednost, je v filozofiji matematike domača.’
Kaj v matematični praksi ter teoriji govori za tako presenetljivo privlačnost doktrine, da matematična eksistenca pomeni svobodo pred kontradikcijo?
Nihče ne more razumno meniti, da ta doktrina privlači omenjene matematike, saj matematike preprosto ne poznajo. Niti ne moremo razumno trditi, da je zanje doktrina vabljiva predvsem zaradi njihovih svojevrstnih filozofskih predsodkov. Konec koncev so bili ti raziskovalci v svojem času v matematiki vodilne osebnosti in njihovih pogledov na matematično eksistenco ne kaže pripisati nekemu njihovemu ekstremnemu odnosu do same matematike, ker so bila njihova filozofska stališča, ki so jih pokazali v različnih trenutkih v karieri glede narave matematike, tako raznolika.
Uganka je tale: kakšna mora biti matematika, če se zdi, da sama doslednost ter koherenca definicije totalitete matematičnih predmetov zadostuje brilijantnim praktikom te znanosti za sprejetje realnosti takšnih objektov?
Vpogled v te logične razlike je mogoče pridobiti s preiskavo spora, ki se je začel blizu konca devetnajstega stoletja med Fregejem in Hilbertom ter se je tikal aksiomov Hilbertove geometrije. Spor je potekal v letih med 1899 in 1903, sprožila pa ga je Hilbertova pionirska raziskava geometrije, ki je kulminirala z objavo njegovih prelomnih Osnov geometrije v letu 1899.
Gre za spor, ki je povzročil precejšnjo pozornost med zgodovinarji filozofije, logiki ter matematiki. Učenjaki so bili večinoma na Hilbertovi strani. Tako so na primer uredniki Fregejeve korespondence v svojem uvodu v izmenjavo med Fregejem in Hilbertom citirali matematika H. Scholza, ki je podal »dominantni pogled« z besedami:
’ Fregejeve kritične opombe je vendarle potrebno obravnavati kot zgrešene, čeprav so na sebi zelo ostre in še danes vredne branja.’
Kljub »dominantnemu pogledu« pa je Chihara mnenja, da v sporu obstajajo vidiki, ki niso dobro razumljeni. Še posebej je nagnjen k misli, da v prepiru kot celoti Fregejeva stran ni bila primerno ocenjena.
Ob študiju zadevne korespondence je Chiharo prizadelo pomanjkanje Hilbertove odzivnosti na tisto, kar se je Chihari zdelo razumni ugovor s strani Fregeja, pa tudi Fregejeva nesposobnost, da bi Hilbertu pokazal, kaj je videl tako spornega v njegovi poziciji. Nato je Chihara poizkusil poiskati tisto, kar bi lahko preprečilo uspešno komunikacijo idej med obema močnima mislecema.
Omenjeni pisec ni prešel vseh variacij Fregejeve kritike ter ugovorov zoper Hilbertovo predstavitev njegove verzije geometrije; rajši se je koncentriral na tri točke Fregejeve kritike, ki zadevajo:
1. Hilbertovo trditev, da so aksiomi njegove geometrije definicije.
2. Hilbertovo metodo dokazovanja doslednosti in neodvisnosti njegovega zbira geometrijskih aksiomov.
3. Hilbertovo doktrino, ki pravi tole: če je zbir aksiomov dosleden, so aksiomi »resnični« ter stvari, ki jih aksiomi definirajo, eksistirajo.
So aksiomi Hilbertove geometrije definicije?
V uvodu svojega temeljnega spisa o geometriji napiše:
’Geometrija zahteva . . . za svojo konsekventno konstitucijo le nekaj preprostih dejstev. Ta osnovna dejstva se imenujejo aksiomi geometrije.’
Hilbert torej v svojem citatu trdi, da aksiomi njegove geometrije izražajo preprosta, osnovna dejstva. V svojih Utemeljitvah geometrije pove bralcem, da aksiomi izrazijo »določena dejstva v zvezi z našo intuicijo«.
S Fregejevega stališča ta definicija precej dobro ustreza njegovim pogledom na aksiome geometrije.
Zapiše:
’Kar tradicionalno imenujemo aksiom, je misel, katere resnica je gotova brez dokazovanja z verigo logičnih sklepanj.’
Na drugem mestu piše:
’V Evklidski geometriji je določenim resnicam tradicionalno odobren status aksiomov. Nobene misli, ki velja za napačno, ne moremo sprejeti za aksiom, ker je aksiom resnica. Poleg tega je del pojma aksioma, da ga lahko prepoznamo kot resnico neodvisno od drugih resnic.’6
Znova zapiše:
’Ker so aksiomi resnični, niso v nasprotju drug z drugim; tega ni treba dokazovati. Definicije ne smejo biti v medsebojni kontradikciji. Uporaba besed »aksiom« in »definicija«, kot sta predstavljeni v tem spisu, je, mislim, tradicionalna, hkrati pa najbolj smotrna.’
Če bi se Hilbert zadovoljil z zgornjo karakterizacijo svojih aksiomov kot preprostih, osnovnih dejstev ali kot, da izražajo dejstva, ki so v temelju naše intuicije, bi Frege verjetno ne bil tako ogorčen nad tem, kar je rečeno o njih v Utemeljitvah geometrije.7
Vendar pa Hilbert trdi, da aksiomi »definirajo pojem ’med’«, nato pa nadaljuje, da »aksiomi te skupine opredeljujejo pojem skladnosti ali gibanja«. Ti karakterizaciji vzpodbudita sledeči Fregejev odgovor:
’Kako lahko aksiomi (ki izražajo osnovna dejstva naše intuicije) nekaj definirajo?
Če torej aksiomi nekaj definirajo, kako lahko izrazijo tudi dejstva, ki so v osnovi naše intuicije – kot je Hilbert trdil na začetku?
Če izrazijo dejstva, nekaj trdijo. Tedaj pa moramo vsak izraz, ki se v njih pojavi, že povsem razumeti. Če pa so aksiomi deli definicij, bodo vsebovali izraze kot so »točka« in »ravna črta«, katerih reference še niso urejene, temveč jih je treba še določiti.’
Na tej točki spora je Fregejev ugovor gotovo verjeten. Težava pri Hilbertu je, da hoče oboje: aksiomi so resnice, ki so v osnovi naše intuicije (menda prostora), hkrati pa so definicije takšnih pojmov kot sta skladnost in gibanje.
Za Fregeja je to nesmisel. Z logičnega stališča aksiomi ne morejo biti oboje. Če aksiomi izražajo temeljna dejstva naše intuicije, so trditve, ne pa definicije (te so določene ali postulirane). Če pa so definicije, ne morejo izražati dejstev, ki so v bazi naše intuicije. Da je Hilbert podal to očitno konfliktno karakterizacijo svojih aksiomov, je Fregeja nagnilo k mnenju, da ni dospel do jasnega razumevanja lastnega pristopa h geometriji.
Alberto Coffa analizira Fregejev ugovor kot ga ta utemelji s svojo teorijo o pojmih.
Sugestija je tale: ker Fregejeva kritika Hilberta sloni na idiosinkratičnem pogledu (Fregeju »prirojenemu«) na pojme, lahko tisti, ki ne delijo takšne koncepcije mirno ignorirajo Fregejev ugovor.
Chihari se zdi, da je Fregejev ugovor povsem neodvisen od vsakršne takšne teorije. Hilbert dopušča, da so definicije določene ali postulirane. Na drugi strani so propozicije, ki so preprosta dejstva, osnovna dejstva (ali ki izražajo dejstva v temelju naše intuicije), resnice, saj so propozicije, ki izražajo dejstva, resnice. Takšne resnice pa so resnicene glede na to, ali jih določimo ali postuliramo.
Kako naj bodo torej definicije, ki jih določimo, ter kako je nek aksiom lahko oboje?
Fregejev ugovor, da aksiomi Hilbertove geometrije ne morejo biti oboje, ne počiva na nobenem sklicevanju na njegovo teorijo o pojmih. Je ugovor, ki je za Chiharo (ta se v nobenem pogledu ne strinja s Fregejevo teorijo pojmov) popolnoma prepričljiv.
Da bi si pridobili jasnejše razumevanje Hilbertovega stališča glede njegovih aksiomov, si predstavljajmo, da je Hilbert razvil svojo teorijo kot formalizirano teorijo prvega reda.
Tedaj bi se Hilbertovi geometrijski aksiomi pojavili kot aksiomi v deduktivni teoriji, formalizirani v predikatnem calculu prvega reda, kjer bi bili nedefinirani termini »točka«, »črta« in »ravnina« v njegovi knjigi podani kot nelogične konstante slovarja te deduktivne teorije.
Znotraj tovrstne formalne postavitve lahko uvidimo, zakaj bi mogel Hilbert svoje aksiome obravnavati kot »definicije« (po nekaterih komentatorjih smo lahko mnenja, da Hilbertovi aksiomi definirajo razred modelov).
Ker pa bi morala biti vsaka struktura prvega reda (ki zadovoljuje aksiome) takšna, da bi se nelogične konstante nanašale na stvari v domeni strukture, bi stvari (na katere se te konstante nanašajo) morale biti med seboj na določen način povezane; v nekem smislu bi lahko zato aksiome obravnavali, kot da implicitno definirajo nelogične konstante.8
Tu je mogoče videti, zakaj je Hilbert v pismu Fregeju trdil, da:
». . . je poizkusiti podati definicijo točke v treh vrsticah po mojem mnenju nemogoče, ker daje popolno definicijo (šele) celotna struktura aksiomov.«
Kaj je model teorije, seveda determinira celotni sklop aksiomov, ne pa le eden.
Čeprav pa pojem modela prve vrste ni bil izrecno naveden, ko je Hilbert nadaljeval svoj spor s Fregejem, so odlomki v njegovem pismu zadnjemu, ki sugerirajo, da je mislil Hilbert v smislu modelov aksiomov.
Pisal je:
’Gotovo je očitno, da je sleherna teorija le oder ali shema pojmov (skupaj z njihovimi nujnimi relacijami drug do drugega), in da si morem osnovne elemente zamisliti kot želim. Če ob govorjenju o svojih točkah, mislim na nek (drug) sistem stvari, na primer na sistem: ljubezen, zakon, dimnik, pometanje . . . , nato pa vse svoje aksiome vzpostavim kot (posebne) relacije med temi stvarmi, veljajo za te stvari tudi moje propozicije, recimo Pitagorovi teoremi. Rečeno drugače: katerokoli teorijo lahko vedno uporabim za neskončno mnogo sistemov osnovnih elementov.’
Paul Bernays v Enciklopediji filozofije zapiše, da
». . . Hillbertov sistem aksiomov ni sistem izjav o določeni temi, temveč sistem pogojev za tisto, kar bi lahko imenovali relacijska struktura.«
Podobno tudi Ian Mueller opiše vsebino Hillbertovih geometrijskih aksiomov kot »strukturalno« ter označi njegovo geometrijo kot »študijo strukture«.
Potrebno je opozoriti, da je Fregejev ugovor zoper karakterizacijo aksiomov, kot da izražajo dejstva, ki so bazična za našo intuicijo, razumen: če namreč obravnavamo aksiome kot stavke teorije prvega reda v prejšnjem smislu, moramo tudi dopustiti, da ti stavki niso resnični – niso resnični v premočrtnem smislu. Za takšne prvorazredne stavke lahko rečemo, da so resnični le v tehničnem pomenu biti resničen v strukturi ali v okviru intrepretacije.
Tako Hans Freudenthal opiše revolucionarni vidik Hillbertove geometrije z besedami:
’Vez z realnostjo je presekana. Geometrija je postala čista matematika. . . Aksiomi niso evidentne resnice. V običajnem smislu sploh niso resnice.’
Hillbert ni nikoli ustrezno odgovoril na zgornji Fregejev ugovor, še naprej pa je zagotavljal zmedeno in nasprotujočo si karakterizacijo svojih aksiomov. Brez dvoma je menil, da so Fregejeve pripombe le neznaten prepir ter da je matematično na trdnih tleh, to pa s trditvijo, da so njegovi aksiomi definicije.
Ko je Frege ugotovil, da Hillbert v drugi izdaji svoje knjige ni spremenil svoje označitve aksiomov, je zapisal:
’Očitno sam gospod Hillbert ne ve, kaj misli z besedo »aksiom«, posledično pa postane povsem dvomljivo, ali ve, kakšne misli povezuje s svojimi propozicijami.’
Oglejmo si torej Hillbertove dokaze za neodvisnost in doslednost njegovih aksiomov.
Chihara se tu obrne k Fregejevim ugovorom zoper Hillbertovo metodo dokazovanja doslednosti ter neodvisnosti njegovega zbira geometrijskih aksiomov.
Iz sodobnega stališča imamo lahko Hillbertove aksiome za neposredno modelno teoretične.9
Znotraj logike prvega reda je zbir stavkov po definiciji »konsistenten«, če obstaja interpretacija (ali struktura), kjer je omenjeni zbir resničen: da pa bi dokazali doslednost zbira aksiomov, je potrebno le pokazati, da biva model ali struktura, v kateri so vsi aksiomi resnični.
Hilbert je dokazal konsistenco svojega zbira geometrijskih aksiomov s konstruiranjem modela aksiomov iz sistema realnih števil.
Da bi razlikovali zgornji smisel doslednosti od intuitivnega pojma, ki ga je imel v mislih Frege, uporabimo izraz »modelno teoretična konsistenca« v tem sodobnem pomenu (analogno uporabimo izraz »modelno teoretična konsekvenca«).
Na drugi strani pa je za Fregeja zbir stavkov dosleden, če ni mogoče (z uporabo logike in definicij terminov v stavkih) iz njega deducirati protislovja.
Tako je stavek fi neodvisen od zbira stavkov F, če ni mogoče izF-a deducirati fi-a ali njegove negacije, to pa z uporabo logike ter definicij terminov v fi-ju ali v članih F-a.
V Fregejevem smislu termina »konistenca« pomeni tedaj reči, da je zbir stavkov konsistenten, če atribuiramo smisle stavkom v zbiru na takšen način, da je resnica vseh teh stavkov logično kompatibilna s pomenom, ki ga stavki premorejo.10
(Kaj pomeni smisel termina in v čem je smisel njegovega pomena?
Če rečem, da pomen nima smisla, povem, da smisel nima pomena?
Če pomen ni isti, ker je enak, smiselni ni enak, saj ni isti?
Kdaj torej pomen ni enak, ker ni isti, kdaj pa smisel ni »smisel«, saj ni pomen?
Takrat ter le takrat (ne pa tedaj), ko edina bela vrana ne dokaže dejstva, da so vse vrane črne (et vice versa)?
Utopija ni resnična, ker »je« Topos mesto, ki ga ni?)
V sledečem Chihara uporablja termina »propozicionalna konsistenca« in »propozicionalna neodvisnost«, da naznači vrsto konsistence ter neodvisnosti, ki jo je imel v mislih Frege.
Če vzamemo Hilbertove aksiome kot osnovna dejstva naše intuicije, kot je to storil Frege, lahko vidimo, zakaj izbira modela teorije množic, ob uporabi realnih števil, za zbir geometrijskih aksiomov nikakor ne pokaže, da ti aksiomi premorejo propozicionalno konsistenco. Ni težko videti, zakaj je Frege menil:
»Če je Evklidska geometrija resnična, ni resnična ne-Evklidska geometrija, če pa ne-Evklidska geometrija ni zmotna, je Evklidska geometrija neresnična.«
Frege je videl situacijo takole: če termini »točka«, »ravna črta« in »vzporednica« pomenijo isto v obeh geometrijah, aksiomi obeh geometrij ne morejo biti osnovne resnice v pogledu fizičnega prostora, ker so vzajemno v kontradikciji. Po drugi strani, če smatramo, da so aksiomi osnovne resnice, dokaz konsistence ni potreben.
S Fregejimi besedami:
»Aksiomi si niso kontraditorni, ker so resnični.«
Rečeno drugače: če (kot Hilbert) upoštevamo aksiome kot definicije, izhaja definicija iz totalitete aksiomov.
V tem primeru, piše Frege:
»Aksiomi, ki pripadajo isti definiciji, so torej vzajemno odvisni in niso medsebojno kontradiktorni; če bi bili, bi bila definicija neupravičena. Seveda pa ni mogoče raziskati, ali si ti aksiomi nasprotujejo, preden so postulirani, ker dobijo smisel le z definicijo. Tedaj v primeru nesmiselnih propozicij ni nikakršnega vprašanja po kontradikciji.«
Seveda je imel Frege tu v mislih »propozicionalno kontradikcijo«, ne pa modelno-teoretične nekonsistence. Razlog tu ni v vprašanju o protislovju (tako imenovana »propozicionalna kontradikcija«): če so aksiomi nečutni (ali niso interpretirani) je to zato, saj neinterpretirani stavki ne izražajo propozicij ter torej ne morejo biti propozicionalno kontradiktorni. Na drugi strani pa ni težko specificirati par nečutnih (neinterpretiranih) aksiomov, ki sta si v kontradikciji, če govorimo o modelno-teoretični kontradiktornosti.
Torej niti Frege niti Hilbert tu ničesar ne povesta o težavi »subjekta«, ki je realno objektiven (objekta, ki »ni« objektivno realen), v zadnji posledici pa se s tem ne ukvarja niti naš avtor (Chihara).
Kljub temu pa pravilno ugotavlja, da mi tudi teoretik množic ne more ničesar povedati o pravi naravi članskega odnosa.
Predpostavim torej enormno totaliteto množic enot, samo ena teh množic pa ima za edinega člana Immanuela Kanta.
Katere so lastnosti Kanta Immanuela in tega edinega člana, ki je Immanuel Kant (ter nič več), in ki je v odnosu članstva s to množico?
Kdo ve?
Teorija množic mi tega ne pove.
Če povzamem: van Inwagen sklepa, da je nekaj narobe z argumentom, ne ve pa kaj; Lewis (1991) pa sklene, da mora zgrabiti za člansko razmerje, ne ve pa kako.
V obeh primerih je pred nami resnična metafizična uganka.
1 Zakaj torej govori matematik o točki brez dimenzije, o premici brez debeline, o ravnini brez globine . . . ?
Ne govori na primer o idealnem trikotniku, ki je stoodstoten?
Obstaja?
Matematiki nikoli ne prispejo do njega, razen tako, da štejejo brez konca in kraja, ker na začetek neskončnosti postavijo lažno limito?
Je idealni trikotnik na koncu neskončne premice?
Zadnja eksistira, če se zmotim, če pa se ne zmotim, zapišem lažno limito na konec premice brez debeline, ki je ne narišem nikamor?
2 Gre za korespondenčno (realistično) teorijo resnice, ki je najbolj znana, klasična in blizu človeški intuiciji.
Kot pove dr. Ule, jo najpreprosteje izrazim s trditvijo, da je resnica sodbe v njeni skladnosti s tem, o čemer govori. Pogosta opredelitev v filozofski tradiciji je tudi ta, da je resnica takšne sodbe v skladju z dejstvi, ki jih opisuje.
Natančno naravo te skladnosti je zelo težko opredeliti (po mnenju kritikov korespondenčne teorije celo nemogoče), zato obstajajo velike razlike med različnimi oblikami omenjene teorije.
Naziv »realistična teorija resnice« izhaja od tod, ker njeni zagovorniki sprejemajo objektivni obstoj realnega sveta (realnosti, dejanskosti, stvarnosti) ter realnih dejstev; ti so pred mentalnimi ali duhovnimi dejavnostmi subjekta, ki oblikuje resnične sodbe o njih. Misel se mora nekako prilagoditi realnemu svetu oziroma dejstvom, če naj bo resnična, ne pa obratno (da resnična misel narekuje svetu, kakšen je oziroma naj bo).
Vse oblike realizma v spoznavni teoriji tako ali drugače zagovarjajo korespondenčno teorijo resnice, možno pa jo je zagovarjati brez realizma.
Kant na primer korespondenčno teorijo resnice sprejema, vendar ni ontološki realist, kvečjemu sprejme omiljeni realizem na fenomenalni ravni. Po filozofu fenomenalna, empirična zavest doseže resnico o fenomenalnem svetu, če sinteza pojmov v sodbi ustreza sintezi predstav v predmetu, o katerem govori sodba.
Pri govoru o korespondenci je vedno vprašanje, kaj ta odnos sploh pomeni, to pa je ena večjih težav te teorije. Ni jasno, kakšna mora biti skladnost, niti med čim naj se vzpostavi: na primer med stavki in dejstvi, stavki ter stanji stvari, stavki in predmeti, stavki ter svetom (dejanskostjo) . . .
Rečeno poenostavljeno, gre za vprašanje, kakšen je odnos med resničnim stavkom in tem, kar stavek opisuje (pove).
V tradiciji korespondenčne teorije obstajajo tri glavne smeri razmišljanja (prva je dominantna):
1. Korespondenca je nekakšna odslikava dejstev, torej odnos povratno enoumne prireditve posameznih sestavin stavka ustreznim sestavinam dejstva (korespondenca kot korelacija).
2. Resnični stavek je kot celota nekako v soglasju – kot celota se ujema z dejstvom kot celoto (korespondenca kot kongruenca).
3. Korespondenca je neke vrste ontološko-metafizično razmerje (kot ontološka soustreznost med mislijo ter bivajočim, na katerega se misel nanaša).
Značilna predstavnika prve smeri sta B. Russell in L. Wittgenstein, delno tudi Aristotel, druge J. Austin, tretje pa T. Akvinski, I. Kant, med sodobnejšimi avtorji pa zlasti E. Coreth.
Noben avtor korespondenčne teorije ni povsem dosleden: mešajo različna pojmovanja korespondence (v polni meri se ne zavedajo različnih pojmov korespondence, kar velja zlasti za klasične avtorje (Aristotel, Akvinski, Spinoza); tudi Austin kasneje dopušča logično strukturirano priredbo sestavin izjave ustreznim sestavinam situacije).
Zakaj dr. Ule uvrsti Kanta k zagovornikom korespondenčne teorije resnice ontološko-metafizičnega tipa?
Kant opredeli resnico kot ujemanje med sodbo ter dejanskostjo. Ker pa pri empiričnih spoznanjih zahteva, da se podrejajo načelu vseh sintetičnih sodb (vsak predmet je podvržen nujnim pogojem sintetične enotnosti mnogovrstnosti zrenja v možno izkustvo (apriornim formam čutnosti in apriornim formam razuma)), pomeni to, da se empirične sodbe ujemajo z objektom zato, saj se pogoji sintetične mnogovrstnosti zrenja ujemajo s pogoji za postavitev objektivne sodbe o predmetu. Od tod sledi, da se pogoji za empirični obstoj objekta nekako ujemajo s pogoji, da zanj privzamemo objektivno sodbo.
Nasploh večina klasičnih filozofov vsaj nominalno sprejme pojem resnice kot ujemanje sodbe (misli) ter dejanskosti, ne opredelijo pa vselej natančno, kaj to ujemanje pomeni (torej nimajo izdelane korespondenčne teorije resnice).
Natančneje izdelana koncepcija korespondence je korelacijska, to koncepcijo pa je mogoče logično precizirati s pomočjo pojma formalne preslikave struktur.
V določeni meri lahko tudi Tarskijevo semantično teorijo resnice razumemo kot formalno dosledno izdelavo korelacijsko-korespondenčne teorije resnice.
Med klasičnimi filozofi se je natančnejši opredelitvi korelacijskega pojma korespondence najbolj približal Leibniz s svojo idejo, da je ujemanje med resnično sodbo in stvarjo le formalna analogija med znaki, ki sestavljajo sodbo, ter sestavinami stvari, do pojava moderne formalne logike pa njegove misli ni bilo mogoče natančneje precizirati.
Izrecno ontološko-metafizično teorijo korespondence v novejšem času brani le malo filozofov; največ med njimi je tomistov, sicer pa je njen znan zagovornik Emerich Coreth s svojo teorijo biti kot resnice.
Po njegovem pojmovanju sta tako resnična misel kot bivajoče, na katero se misel nanaša, dve ontološki »količini«, ki se v končni instanci izenačita med seboj.
Resnica kot ujemanje ima dve »smeri«:
– po eni se naše znanje prilega bivajočemu (logična resnica znanja),
– po drugi se bivajoče prilega znanju (ontična resnica bivajočega).
Obe smeri sta dva vidika ujemanja misli in bivajočega.
Po Corethu je bivajoče naravnano na duha, duh pa na bivajoče, med njima pa obstaja medsebojni odnos, ki je obema bistven.
Njegova teorija se ne sprašuje o tem, kaj je odnos korespondence, temveč kje ta odnos temelji.
Meni, da na resnici biti, ki je torej skupno jedro logične resnice znanja ter ontične resnice bivajočega. Resnici biti pravi tudi »ontološka resnica«, to pa je identiteta biti in znanja, ki jo opisuje takole:
‘Bit je izvorno in pristno samo-vedenje, vedenje biti pri sebi v duhovni dovršitvi. Znanje je dovršitev biti, popolnost biti, s katero se bit sama postavi v bit. Bit je torej odprtost, osvetljenost v sami sebi ter za sebe.’
Tudi ontološka resnica se po Corethu nanaša na še višjo stopnjo resnice, na neskončno resnico ali praresnico, to je identiteto biti ter znanja v vsej popolnosti. Neskončna resnica preseže vse relativne ontološke resnice. Medsebojni odnos med končnim duhom in končnim bivajočim predpostavlja absolutno enotnost biti ter znanja, torej praresnico.
Coreth tak korespondenčni odnos med mislijo in bivajočim potegne v metafiziko, pri tem pa (podobno kot tomisti) razmerje med končnimi ontološkimi resnicami ter neskončno resnico razume kot ontološki odnos.
Končne in nepopolne resnice bistva resnice ne dosežejo povsem, nekatere resnice pa se praresnici približajo bolj kot druge. Obstaja neka neskončna hierarhija resnic glede na to, koliko se približajo praresnici. Popolna resnica je vedoči akt absolutnega.
Gre za določene podobnosti s Heideggerjevim pojmovanjem biti resnice kot resnice biti ter s platonsko idejo ontološkega komparativa (soglasja med hierarhijo bivajočega in hierarhijo spoznanj).
Ob vseh možnih kritikah metafizike mora dr. Ule priznati, da je Corethovo pojmovanje resnice dokaj konsekventno ter privlačno, ker ohranja notranjo zvezo med pojmom resnice in pojmom bivajočega oziroma predmeta, ta zveza pa je »vpisana« v pojem resnice že od vsega začetka filozofskega mišljenja (ne le v evropski filozofiji).
Po mnenju Uleta ni plodno posplošeno kritizirati ta ontološki zasuk v pojmovanju korespondence med resnično mislijo ter bitjo kot »metafizične špekulacije«, kritično pa pripominja, da se Coreth vedno bolj izgublja v analogijah in metaforah, kolikor bolj se bliža »vrhuncem« svoje teorije, torej pojmu neskončne resnice.
Od tod se dr. Ule vpraša, ali se ni bolje zadržati na »srednjih ravneh« korespondence ter se potruditi čim bolje precizirati pojem korespondence pri tistih stavkih, ki so v ospredju znanstvenega in vsakdanjega razmišljanja, na primer pri empiričnih resnicah v realnem svetu. Že pri teh stavkih pa je preciziranje pojma korespondence med stavki (sodbami, mislimi . . .) ter svetom izjemno težka naloga, kaj šele, če sežemo k metafizičnim resnicam.
Ko mi torej dr. Ule pove, kako je prišel z limito na konec obzorja, bom vedel, kam sem prišel na koncu neskončnosti, imam pa od vsega začetka prednost: kategorični imperativ (strožji kot Kant), dr. Ule pa samo hipotetičnega.
(Kako sem lahko subjekt in imam objektivno realno spoznanje?
Dr. Ule od biti abstrahira v toliko, da bit kratko ter malo je, do absolutnega robustnega stavka pa potencialno prispe paradoksalno z limito.
Sam ne abstrahiram od morale in prek neštetega zamanca (evolucija) paradoksalno potencialno dosežem predmet svoje filozofije brez limite.)
3 Omenjena struktura je ista, vzročna razlaga pa je enaka?
V prejšnjem primeru ni res, da bela vrana potrjuje pravilo, da so vse vrane črne?
Razen, če vem, kaj je življenje, ker ne vem, kaj je smrt (in obratno)?)
4 Kako »vidim« ’Predmet’ s filozofskim očesom?
Tako, da napišem metaforo, ker sem zapisal Temelj?
Kaj sem napisal?
Nič, torej je ’Predmet’ Temelj?
Et vice versa?
Je razlaga znanstveno sprejemljiva, saj sem matematik, nisem pa znanstvenik?
Razlaga »ni« znanstveno sprejemljiva, ker sem filozof, cepljen na znanstvenika?
5 Kako naj vidim tri banane, če sem se pri točki, ki sem jo napisal na tablo, zmotil natanko toliko, da dosežem lažno limito?
Rečeno drugače, kam sem narisal premico brez debeline, če se natančna matematik nikjer ni zmotila?
Vprašanje: kako pridem na drugi konec stadiona brez limite, ker vem koliko je 5 + 7, in kako vem, da je ura na koncu stadiona 12, saj hodim z limito brez konca ter kraja?
Svet je isti, ker je enak, eden je realno objektiven, drugi je objektivno realen?
Svet ni enak, saj ni isti, ker matematične entitete eksistirajo, ne pa njeni predmeti?
6 Tu se razkrije, kaj Frege misli z a priori. Po njem je apriorna propozicija tista, ki je dokazljiva s splošnimi zakoni, ti pa ne potrebujejo, niti ne priznajo dokaza.
Kaj misli s tem, da splošni zakoni ne potrebujejo dokaza?
Očitno to, da tu dokaza ni potrebno poznati.
Ker so po Fregeju aksiomi Evklidove geometrije propozicije, katerih resnica je gotova brez dokazovanja z verigo logičnih izpeljav, in ki jih lahko spoznamo za resnične neodvisno od drugih resnic, se zdi, da so ti aksiomi prav takšni splošni zakoni.
Ni čudno, da se Frege strinja s Kantom, da so resnice Evklidove geometrije a priori.
Zapiše: ’Ko pravi, da so resnice geometrije sintetične in a priori, razkrije Kant njihovo pravo resnico.’
7 Matematik Giovanni Vallati piše v pismu Fregeju: »Če bi gospod Hilbert le mogel spraviti svoj um do tega, da bi se odrekel svojemu mnenju, da aksiomi predstavljajo ’osnovna dejstva intuicije’, bi lahko preostalemu delu njegove ekspozicije podali brezhibno obliko.«
(Frege misli, za razliko od gospoda Hilberta, da aksiomi kot »osnovna dejstva intuicije« ne bivajo. Za Hilberta torej so, »ne« pa za Fregeja.)
8Kako situacijo razlaga Erik Stenius?
Evklidovi aksiomi so definicija nečesa, kar lahko imenujemo Evklidov sistem, ki ima določeno strukturo kot na primer algebrska skupina. Zato lahko vzamemo »točko«, »premico«, . . . kot termine, ki se nanašajo na strukturalne entitete (relativne na ta sistem), kot različna imena šahovskih figur, ki se nanašajo na strukturalne entitete v igri šaha.
9 Ena stvar je graditi geometrijo na gotovih temeljih, druga pa je raziskati logično strukturo tako zgrajene zgradbe. Hilbert je bil prvi, ki se je svobodno premaknil na ta višji »metageometrični« nivo: sistematično je preučeval vzajemno neodvisnost svojih aksiomov in rešil vprašanje neodvisnosti od določenih omejenih skupin aksiomov za nekatere med najbolj osnovnimi teoremi geometrije. Njegova metoda je konstrukcija modelov.
10 Če vzamemo besede »točka« in »ravna črta« v Hilbertovem tako imenovanem aksiomu 1 v pravem Evklidovem smislu, podobno pa besedi »leži« ter »med«, pridobimo smiselno propozicijo in lahko priznamo tam izraženo misel kot resnični aksiom. Če torej priznamo aksiom 1 za resničnega, dojamemo smisel besed »točka« ter »ravna črta« in »leži« ter »med«, iz tega pa takoj sledi resnica aksioma 2, ki ga tudi moramo priznati. Rečemo torej, da je aksiom 1 odvisen od samega sebe.
Damjan Ograjenšek, filozof
Dodaj odgovor